期待値最大化 (EM) アルゴリズム

　期待値最大化 (EM) アルゴリズムは、潜在変数を持つ確率モデルで最尤推定する方法の一つである。

EM アルゴリズムの背後にある基本的な考え方は、次の 2 つのステップを交互に繰り返すことにより、潜在変数の推定値を繰り返し調整すること。

• 期待 (E) ステップ: 潜在変数の現在の推定値を使用して、完全なデータの対数尤度の期待値を計算する

• 最大化 (M) ステップ: E ステップからの期待値を使用して、モデル パラメーターに関して完全なデータの尤度(対数尤度)を最大化する

　これらの 2 つの手順は、Q関数の値が収束条件に達するまで繰り返す。 EM アルゴリズムは、直接的な最尤推定が困難または不可能な状況で特に役立つ。

　つまり、EM アルゴリズムは、完全データの対数尤度の期待値の推定とモデルに関する完全データの対数尤度の最大化を交互に行うことにより、潜在変数を持つモデルの最尤推定値を見つけるための反復法です。

＞＞＞潜在変数をもつ確率モデルは、観測データから隠された（潜在的な）変数の影響を考慮して構築された統計モデルです。これにより、観測データだけでは直接観察できない隠れた構造や関係を明らかにすることができます。

代表的な例として、潜在変数モデルには以下のものがあります:

1. 混合ガウスモデル (Mixture of Gaussians): 複数のガウス分布の組み合わせとしてデータをモデル化します。各ガウス分布は異なるクラスタを表し、どのクラスタに属するかは潜在変数で決まります。

2. 潜在ディリクレ配分法 (Latent Dirichlet Allocation, LDA): テキストデータにおけるトピックモデリングに用いられます。各文書は複数のトピックの組み合わせとして表現され、各トピックは特定の単語の分布として表現されます。文書のトピック分布や各単語のトピック分布は潜在変数として扱われます。

3. 隠れマルコフモデル (Hidden Markov Model, HMM): 時系列データに適用されるモデルで、観測されるデータ系列が隠れた状態の系列に依存していると仮定します。隠れた状態はマルコフ連鎖を形成し、それぞれの状態から観測データが生成されます。

これらのモデルは、データの背後にある潜在構造を明らかにするために非常に有用です。潜在変数を推定するためには、EMアルゴリズム (Expectation-Maximization) などの最適化手法がよく使用されます。

EMアルゴリズムの処理の流れ

Expectation-Maximization（EM）アルゴリズムの処理の流れを簡潔に説明します。

1. モデルパラメータを初期推定値で初期化する。
2. Eステップ：パラメータの現在の推定値から完全データ対数尤度の期待値を計算する。
3. Mステップ：Eステップで得られた期待値を用いて、完全データ対数尤度をモデルパラメータに関して最大化する。
4. 収束までEステップとMステップを繰り返す。収束は、対数尤度の変化がある閾値以下になったこと、または最大反復回数に達したことを意味する。
5. EMアルゴリズムの結果として、パラメータの最終推定値が得られる。

このプロセスは、EステップとMステップを収束するまで繰り返すというループを表すことができます。

統計や機械学習の文脈で使われる「q関数」にはいくつかの異なる定義がありますが、その中でも特に有名なのは、期待値最大化 (EM) アルゴリズムにおけるq関数です。

期待値最大化 (EM) アルゴリズムのq関数 EMアルゴリズムは、データに潜在変数が含まれる場合に最尤推定を行うための手法です。このアルゴリズムは以下の2つのステップで構成されます:

1. Eステップ (期待値ステップ): 現在のパラメータの推定値を用いて、潜在変数の分布の期待値を計算します。

2. Mステップ (最大化ステップ): 潜在変数の期待値を固定し、それを用いてパラメータを最尤推定します。

ここで、q関数はEステップで使われる関数で、以下のように定義されます: $$q(\theta | \theta^{(t)}) = \mathbb{E}[\log p(X, Z | \theta) | X, \theta^{(t)}]$$

この式において、

• θ\theta はモデルのパラメータです。

• XX は観測データです。

• ZZ は潜在変数です。

• θ(t)\theta^{(t)} は現在のパラメータの推定値です。

• p(X,Z∣θ)p(X, Z | \theta) は観測データ XX と潜在変数 ZZ の同時確率分布です。

Eステップでは、q関数を最大化することにより、潜在変数の分布の期待値を計算します。Mステップでは、この期待値を用いてパラメータ θ\theta を更新します。