位相空間論
位相空間論（いそうくうかんろん、英: general topology）は、数学の一分野で、位相空間の性質やその上に定義される構造（位相的構造）を研究対象とします。以下にその概要を説明します。
基本概念
位相空間: 集合 (X) とその部分集合の族 (\Sigma) の組 ((X, \Sigma)) で、(\Sigma) の元は (X) の開集合と呼ばれます。開集合は以下の公理を満たします1:
- 開集合の任意の合併は開集合である。
- 開集合の有限個の交叉は開集合である。
- (X) および空集合 (\emptyset) は開集合である。
連続性: 位相空間論では、連続写像や数列の収束など、連続性に関する概念が重要です。連続写像は、開集合の逆像が開集合であるような写像として定義されます2。
コンパクト性と連結性: コンパクト性は、任意の開被覆に対して有限部分被覆が存在する性質を指し、連結性は空間が2つの非空な開集合に分割できない性質を指します1。
応用と重要性
位相空間論は、解析学、代数学、幾何学など多くの数学分野の基礎を形成します。特に、連続性や収束性の概念を抽象的に扱うための枠組みを提供し、数学の理論的な基盤を支えています3。
位相空間論はその抽象性から難解とされることもありますが、数学の多くの分野で応用される重要な理論です。興味があれば、さらに深く学んでみると新たな発見があるかもしれません。
位相空間論の記号表
以下、X、Y などは集合を表す。
| 記号 | 意味 | 解説 |
|---|---|---|
| 開集合系 | X 上に定まる開集合系を表す。開集合系によって位相を定める文脈では X を などとも書く。 | |
| 閉集合系 | X 上に定まる閉集合系を表す。閉集合系によって位相を定める文脈では X を などとも書く。 | |
| 開球体 | を中心とする半径 の開球体を表す。どの集合の位相で考えているかを明記するときは のように書く。 | |
| 内部、開核 | X の内部 (interior) を表す。 | |
| 閉包 | X の閉包 (closure) を表す。 | |
| 境界 | X の境界 (frontier, boundary) を表す。 | |
| 相対位相 | 位相空間 と に対して、 は相対位相を表す。 |
2025年1月1日 | カテゴリー：基礎知識/物理学、統計学、有機化学、数学、英語 |
