種々の分布関数｜ざいつ内科クリニック｜山口市小郡の一般内科、血液内科、アレルギー科

種々の分布関数

ベルヌーイ分布からポアソン分布への導出は、二項分布を経由して行います。以下にその手順を示します。

ベルヌーイ分布:
- ベルヌーイ分布は、成功確率 ( p ) の試行で成功する確率を表します。確率変数 ( X ) が成功なら ( 1 )、失敗なら ( 0 ) を取ります。
- 確率関数は次の通りです： $P (X = x) = p^{x} (1 - p)^{1 - x} (x = 0, 1)$
二項分布:
- 二項分布は、成功確率 ( p ) の試行を ( n ) 回行ったときの成功回数を表します。確率変数 ( Y ) が成功回数を表します。
- 確率関数は次の通りです： $P (Y = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} (k = 0, 1, 2, \dots, n)$
ポアソン分布への導出:
- 二項分布の試行回数 ( n ) が非常に大きく、成功確率 ( p ) が非常に小さい場合（ただし ( \lambda = np ) が一定）、二項分布はポアソン分布に近似できます。
- このとき、ポアソン分布の確率関数は次のように表されます： $P (X = k) = k ! λ ^{k} e ^{- λ} (k = 0, 1, 2, \dots)$

具体的な導出の流れは以下の通りです：

二項分布の確率関数を考えます：
$P (Y = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
( n ) が非常に大きく、( p ) が非常に小さいとき、( \lambda = np ) とします。このとき、次のように変形します：
$(k n) = k ! ( n - k )! n ! \approx k ! n ^{k}$ $p^{k} = (n λ)^{k}$ $(1 - p)^{n - k} \approx e^{- λ}$
これらを組み合わせると、次のようになります：
$P (Y = k) \approx k ! n ^{k} (n λ)^{k} e^{- λ} = k ! λ ^{k} e ^{- λ}$