ベイズ統計と統計物理
カノニカル分布（canonical distribution）は、ギプス分布ともいい、統計力学や確率論において重要な概念です。特に、物理学や化学の分野で、系のエネルギー状態の分布を記述するために用いられます。
カノニカル分布は、次のように定義されます：
ここで、
P(E)P(E) はエネルギー EE の状態の確率です。
ee は自然対数の底（約2.718）です。
kBk_B はボルツマン定数です。
TT は絶対温度です。
ZZ は分配関数で、全てのエネルギー状態の確率の和が1になるように正規化するための定数です。
カノニカル分布は、特定の温度における系のエネルギー状態の分布を示し、エネルギーが高い状態ほどその確率が低くなることを示しています。これは、エネルギーが高い状態ほど熱的に不安定であるためです。
この分布は、熱力学的平衡状態にある系の性質を理解するための基本的なツールとなります。
統計物理学で用いられてきた計算アルゴリズムを確率的推論に
持ち込む作業が大事
動的なモンテカルロ法（Dynamic Monte Carlo method）は、確率論的手法を用いて動的システムの時間発展をシミュレーションする方法です。特に、物理学や化学の分野で、分子の運動や反応過程をモデル化するために使用されます。
この方法は、以下の手順で進行します：
初期状態の設定: システムの初期状態を定義します。例えば、分子の位置や速度など。
遷移確率の計算: システムが次の状態に遷移する確率を計算します。これは、エネルギー差や温度などのパラメータに依存します。
乱数生成: 乱数を生成し、遷移確率に基づいて次の状態を決定します。
時間の進行: システムの時間を進め、次の状態に移行します。
繰り返し: 上記の手順を繰り返し、システムの時間発展をシミュレーションします。
動的なモンテカルロ法は、特に複雑なシステムの挙動を解析するのに有効です。例えば、材料科学における結晶成長や、化学反応の動力学を研究する際に利用されます。
不変分布（invariant distribution）は、確率過程やマルコフ連鎖において重要な概念です。特に、システムが長時間にわたってどのような状態にあるかを記述するために用いられます。
不変分布は、次のように定義されます：
システムが時間とともに変化しても、その分布が変わらない状態を指します。
マルコフ連鎖において、不変分布は遷移行列 PP に対して次の関係を満たします：$$\pi P = \pi$$ ここで、π\pi は不変分布を表すベクトルです。
不変分布は、システムが長時間にわたって観測されたときに、各状態に存在する確率を示します。これは、システムが平衡状態に達したときの状態分布とも言えます。
例えば、ランダムウォークやページランクアルゴリズムなど、多くの応用分野で不変分布が利用されています。
2024年11月14日 | カテゴリー：基礎知識/物理学、統計学、有機化学、数学、英語 |
