正規分布の基礎｜ざいつ内科クリニック｜山口市小郡の一般内科、血液内科、アレルギー科

正規分布の基礎

（integral.dx,x:0~∞/exp(-x2))2

=π/4

したがって

exp(-x2)の面積は√π/２

二項分布と正規分布には密接な関係があります。特に、二項分布の試行回数が非常に多い場合、二項分布は正規分布に近似することができます。これを中心極限定理と呼びます。

二項分布は、成功確率 ( p ) の試行を ( n ) 回行ったときの成功回数 ( k ) を表します。確率質量関数は次のように表されます：

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

正規分布は、平均 ( \mu ) と分散 ( \sigma^2 ) を持つ連続確率分布です。確率密度関数は次のように表されます：

f (x) = 2 π σ ^{2} 1 exp (- 2 σ ^{2} ( x - μ ) ^{2})

二項分布 ( B(n, p) ) の場合、試行回数 ( n ) が大きくなると、二項分布は平均 ( \mu = np ) と分散 ( \sigma^2 = np(1-p) ) の正規分布 ( N(\mu, \sigma^2) ) に近似できます。具体的には、次のように近似されます：

B (n, p) \approx N (n p, n p (1 - p))

この近似は、特に ( n ) が大きく、( p ) が 0.5 に近い場合に有効です。