正規分布とt分布｜ざいつ内科クリニック｜山口市小郡の一般内科、血液内科、アレルギー科

データの平均値を推定したり検定したりするときには、正規分布を用いた方法と、ｔ分布を用いた方法があります。

問題の状況によって、正規分布を使うか、ｔ分布を使うか、が決まります

ｔ分布と正規分布を使い分ける基準

ｔ分布と正規分布を使い分ける基準は、母分散がわかっているかどうかで判断します。

母分散がわかっているときは正規分布を使用し、母分散がわかっていないときはｔ分布を使用します。

次節以降で、その理由と具体的な例を解説します。

ｔ分布と正規分布を使い分ける理由

さきほどは、母分散が既知か未知かで使い分けることを説明しました。

実は、母分散が既知の場合でもｔ分布を使用することができます。
つまり、以下の表のように、ｔ分布は母分散の既知・未知にかかわらず使うことができるのです。

母分散	正規分布を使った推定・検定	ｔ分布を使った推定・検定
既知	〇	〇
未知	×	〇

では、なぜ母分散が既知のときには正規分布を使うかというと、正規分布を使った方が推定・検定の精度がよいからです。

正規分布はｔ分布よりも尖った形状をしているので、同じ区間の幅が小さくなります。(下図)

よって、母分散が既知のときには、推測の精度を上げるために正規分布を使う方がよいです。

母分散が既知のときの比較の例

母分散が既知のとき、正規分布を使った場合と、ｔ分布を使った場合とで、推定結果にどのような違いがあるのかを例題で確認してみましょう。

例題

正規分布にしたがう母集団から、データを 6個とった。
　21, 20, 23, 20, 20, 19
長年の経験から、母分散は 1.9 であることがわかっている。
母平均の 95% 信頼区間を求めよ。

母分散がわかっていますので、正規分布を用いても、ｔ分布を用いても解くことができます。
比較のために、両方で計算してみましょう。

正規分布の場合
6 個のデータの平均値は 20.5 ですので、母平均の 95% 信頼区間は、

20.5 - 1.96 \times σ --\sqrt 6 -\sqrt \leq μ \leq 20.5 + 1.96 \times σ --\sqrt 6 -\sqrt

母分散が 1.9 なので、σ=1.9−−−√ を代入して計算すると、

19.4 \leq μ \leq 21.6

となります。

ｔ分布の場合
6 個のデータの平均値は 20.5、不偏分散は 1.9 なので、95%信頼区間は、

20.5 - 2.57 \times s \sqrt 6 -\sqrt \leq μ \leq 20.5 + 2.57 \times s \sqrt 6 -\sqrt

不偏分散の値 s=1.9−−−√ を代入して

19.1 \leq μ \leq 21.9

結果を見比べてみましょう。
母平均の 95%信頼区間は、

正規分布
[19.4,21.6]
ｔ分布
[19.1,21.9]

正規分布の方が信頼区間の幅が小さく、推定には都合のよいことが分かります。

このように、母分散がわかっているときは正規分布を使うようにします

まとめ

結論としては、

母分散がわかっている(母分散既知)
正規分布を使う
母分散がわかっていない(母分散未知)
ｔ分布を使う

■検定統計量

身長や体重などについて検定を行う場合は、コインの裏表が出る確率とは異なり、取りうる値がどのくらいの確率でその値となるかが分かりません。そこで、身長や体重の値を「検定するための値」に変換します。このようにして算出された値が検定統計量（統計量と呼ばれることもあります）となります。

検定では、データから算出された検定統計量より極端な値をとる確率が有意水準と比較して大きいのか、小さいのかに基づいて帰無仮説を棄却するかどうかを判断します。検定統計量にはいくつかの種類がありますが、ここでは代表的な2つについて説明します。

1. 統計量z（=z値）

平均が0、分散が1となるようにデータを標準化した値のことです。例えば標本平均を標準化した値は次の式から算出できます（ $\overline{x}$ ：データの平均、 $\mu$ ：母平均、 $\sigma^{2}$ ：母分散、 $n$ ：サンプルサイズ）。分母の $\displaystyle \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}$ は標本平均の標準誤差＝標本平均の標準偏差を表します。統計量zは標準正規分布に従うため、統計量zを用いた検定を行う際には標準正規分布を使います。

2. 統計量t（=t値）

20-1章で既に学びましたが、次の式から算出される値のことです（ $s^{2}$ ：不偏分散）。サンプルサイズがnの場合、統計量tは自由度 $(n-1)$ のt分布に従います。そのため、統計量tを用いた検定を行う際には自由度 $(n-1)$ のt分布を使います。統計量tを用いた検定のことを「t検定」といいます。t検定は、調べる値の母集団が正規分布することが前提条件となります。

例題：