波動方程式
粒子の運動に伴う 
ド・ブローイ波 を 表す関数（波動関数 と呼びます）を Ψ(x , t ) としましょう． シュレーディンガーは 粒子性の関係式 (1) を 考慮しながら， 波動関数 Ψ(x , t ) の 満たすべき 波動方程式 
を提案しました． ただし， プランク定数 h の代わりに それを 2π で割り算した 
が使われています． (アルファベットの h に 横棒が付いているので, エッチ・バーと発音します．) 今後もしばしば お目にかかります． 波動方程式 (3) が 自由粒子 に対する シュレーディンガー 方程式 です
「自由粒子の波動関数」 シュレーディンガー方程式 (3) の最も簡単な解は  です． これが 自由粒子の波動関数 です．このように シュレーディンガー方程式 の解 すなわち 波動関数 は一般に複素数 となります． これはなんだか変ですね． もともと波動関数は ド・ブローイ波を 表すものと考えました． |
「３次元空間における シュレーディンガー方程式」 現実的な問題に対しては (7) 式の シュレーディンガー方程式を ３次元空間に 拡張しなければなりません． この場合の力のポテンシャルは 座標 ( x, y, z ) の 関数であり， 波動関数は 変数 ( x, y, z, t ) の関数となります．そして シュレーディンガー方程式は  と書かれます． |
| 「波動関数の確率解釈」 下図 のように 3次元空間の中で，座標 (x , y , ｚ ) の点の近傍の３辺の長さが dx , dy , dz の 微小体積 (直方体) dV = dx dy dz を考えます． 時刻 t において， この微小体積の中に 粒子が見出される確率 すなわち 粒子の "存在確率" を P (x , y , z , t ) dx dy dz としましょう． P (x , y , z , t ) は 点 (x , y , ｚ ) の近傍の単位体積あたりの 確率ですから， しばしば確率密度 と呼ばれます． |
| [注意] 上で 粒子の "存在確率" という言葉を用いました． しかし，これは，例えば電子が 常に 粒子 の形で， 粒子 の姿をして存在し， ただその運動が 確率的である， ということを 意味するものでは ありません． 電子はあくまで 「粒子」 と 「波動」 の 両方の性質をもった 存在であり， 「粒子」だけの性質 を持つわけでは ありません． ここで言う "存在確率" とは， 「粒子」を観測したとき 見出される確率 を意味します． 誤解を避けるため "引用符" で 囲んでおきます． |
 ボルンの確率解釈は， 「粒子の "存在確率"の 確率密度は 波動関数の 絶対値の２乗に等しい」 と主張しています． すなわち，上図 の 微小体積 dV 内に粒子が見出される確率は  であると考えます． 波動関数 Ψ(x , y , z , t ) そのものは 一般には 複素数の値ですが, その絶対値の２乗を とりますから, "存在確率"は常に 正 (または 0) となって，困ることは 起きません. |
| 「波動関数の規格化」 |
任意の時刻 t において， 粒子は空間のどこかに 存在するはずですから， (1) 式の 粒子の "存在確率"を 全空間にわたって 積分すると， すなわち全確率を 計算すると， １００％ になるはずです． つまり 波動関数 Ψ(x , y , z , t ) は 規格化の条件  を満たすように なっていなければ なりません．単に シュレーディンガー方程式 の解を求めただけでは 規格化の条件 (2) を 満たしているとは 限りません． シュレーディンガー方程式の ある１つの解 Φ(x , y , z , t ) に，0 でない 任意の定数 C を 掛け算した Ψ = C Φ も 同じ シュレーディンガー方程式の 解ですから， この定数 C を うまく調整すれば， 結果の波動関数 Ψ が (2) 式を満たすようにすることが できます． この操作を 波動関数の規格化 と呼び，掛けるべき 定数 C を 規格化定数 と呼びます． 規格化定数が  と書かれることは 容易にわかります． |
2024年8月15日 | カテゴリー：基礎知識/物理学、統計学、有機化学、数学、英語 |
